Սեղանի մակերեսը

Սեղանի երկու հիմքերը զուգահեռ են, հետևաբար, նրանց միացնող ուղղահայացը սեղանի բարձրությունն է:

Սովորաբար բարձրությունը տանում են գագաթից, կամ անկյունագծերի հատման կետով: 

 Բարձրությամբ և անկյունագծով սեղանը բաժանվում է երեք եռանկյունների: Սեղանի մակերեսը հաշվում ենք, որպես այդ եռանկյունների մակերեսների գումար:

 S_ABCD=S_ABD+S_DBC

S_ABCD=AD⋅BE/2+BC⋅DF/2=AD⋅BE/2+BC⋅BE/2=(AD+BC)⋅BE/2

Եթե սեղանի զուգահեռ կողմերը (հիմքերը) նշանակենք a և b, իսկ բարձրությունը՝ h, ապա՝

S_սեղան=(a+b)/2⋅h

Խնդիրներ

346․ S=54
347. CD=5
349. 72
351. Եթե խնդրում փոքր հիմքի միջնակետի փոխարեն վերցնեինք կամայական կետ խնդրի պատասխանը արդյունքում չէր փոխվի։

ԲԱԶՄԱՆԿՅԱՆ ՄԱԿԵՐԵՍԸ

Բազմանկյան մակերեսը հարթության այն մասն է, որը զբաղեցնում է բազմանկյունը: Որպես մակերեսի չափման միավոր վերցնում ենք այդ պատկերի կողմի չափման միավորի քառակուսին։ Օրինակ, պատկերի կողմը չափում ենք մետրով՝ մ, ապա մակերեսը կլինի քառակուսի մետր՝ մ²։ 1սմ²=10մմ⋅10մմ=100մմ²
1մ²=100սմ⋅100սմ=10000սմ² 1կմ²=100000սմ⋅100000սմ=10000000000սմ²

Տեսանյութ (պարագիծ և մակերես)

Մակերեսի հատկությունները:1. Հավասար բազմանկյունների մակերեսները հավասար են․ դրանց անվանում ենք հավասարամեծ պատկերներ։
Եթե բազմանկյունների մակերեսները հավասար են, իսկ բազմանկյունները հավասար չեն, ապա նրանք կոչվում են հավասարամեծ:

Նկարում բերված են երեք հավասարամեծ ուղղանկյուններ, որոնց մակերեսները հավասար են 12 քառակուսի միավորի:

Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է նրա կից կողմերի արտադրյալին:   2. Եթե բազմանկյունը կազմված է մի քանի բազմանկյուններից, ապա նրա մակերեսը հավասար է այդ բազմանկյունների մակերեսների գումարին:

Խնդիրներ մակերեսների վերաբերյալ

Խնդիր 1

ա․ 1․44
բ․ 9, 16
գ․ 81

Խնդիր 2

ա․ 2սմ
բ․ 2,5դմ
գ․

Խնդիր 3

ա․ S=a*b=8,5*3,2=27,2
բ. S=a*b=2/3*1,2=5,6

Խնդիր 4

a=6,5
b=7,5

P=2*7.5+2*6.5=28
S=7.5*6.5=48.75

Խնդիր 5

S=96սմ²
12*8=96
P=2*12+2*8=40

Խնդիր 6

P=32
S=8*8=64

Ուղղանկյան կողմը ≈ 1,43

Խնդիր 7

Խնդիր 8

Խնդիր 9

P=32
S=8*8=64

Ուղղանկյան կողմը ≈ 1,43

Խնդիր 10

ՀԱՎԵԼՅԱԼ ԽՆԴԻՐՆԵՐ ՇՐՋԱՆԱԳԾԵՐԻ ԴԱՍԱՎՈՐՈՒԹՅՈՒՆԻՑ

1. Դիցուք տրված են երկու շրջանագծեր այնպես, որ առաջինի շառավիղը հավասար է երկրորդի տրամագծին։ Փոքր շրջանագծի շառավիղը R է։ Գտնել շրջանագծերի կենտրոնների հեռավորությունը եթե հայտնի է, որ շրջանագծերը շոշափում են միմյանց (դիտարկել բոլոր հնարավոր դեպքերը):

R
2R

2. Հնարավոր է՞ արդյոք երկու շրջանագծեր հատվեն այնպես, որ

1. շրջանագծերի կենտրոններով և հատման կետով կառուցված եռանկյունը լինի հավասարակողմ
2. շրջանագծերի կենտրոններով և հատման կետերով կառուցված քառանկյունը լինի ուղղանկյուն
3. շրջանագծերի կենտրոններով և հատման կետերով կառուցված քառանկյունը լինի քառակուսի

1.

3. Երկու համակենտրոն շրջանագծերից մեկի շառավիղը հավասար է մյուսի տրամագծին, հայտնի է, որ փոքրի շառավիղը R է։ Գտնել շրջանագծերի հեռավորություը։

4. O₁ և O₂ կենտրոններով երկու հավասար շրջանագծեր հատված են այնպես, որ մեկի կենտրոնը գտնվում է մյուս շրրջանագծի վրա։ Ինչպիսի՞ քառանկյուն է O₁AO₂B-ն եթե A-ն և B-ն շրրջանագծերի հատման կետերն են։

ԵՐԿՈՒ ՇՐՋԱՆԱԳԾԵՐԻ ՓՈԽԱԴԱՐՁ ԴԱՍԱՎՈՐՈՒԹՅՈՒՆԸ

Հարթության մեջ գտնվող երկու շրջանագծերի փոխադարձ դասավորության հնարավոր դեպքերը կախված են տվյալ շրջանագծերի կենտրոնների հեռավորությունից և շառավիղների երկարություններից։

1․ Երկու շրջանագծեր հատվում են երբ ունեն երկու ընդհանուր կետ: Այս դեպքում կենտրոնների հեռավորությունը փոքր է շառավիղների գումարից։

2․ Երկու շրջանագծեր փոխադարձաբար շոշափում են միմյանց երբ ունեն մեկ ընդհանուր կետ: Այսպիսի դասավորության երկու դեպք է հնարավոր՝ շրջանագծի կենտրոնների հեռավորությունը հավասար է կամ նրանց շառավիղների գումարին, կամ տարբերությանը։

3․ Երկու շրջանագծեր ընդհանուր կետեր չունեն: Այսպիսի դասավորության հնարավոր ևս երկու դեպք գոյություն ունի՝ կամ կենտրոնների հեռավորությունը մեծ է շառավիղների գումարից, կամ փոքր։

Առաջադրանքներ (դասարանում)

1. Ինչպիսի հնարավոր դասավորվածություն կարող են ունենալ տրված շրջանագծերը եթե նրանց կենտրոնների միջև հեռավորությունը հավասար է 20սմ․ իսկ շառավիղները համապատասխանաբար հավասար են՝

Հատվում է

Հատման կետ չունի

Շոշափում է

1. 15սմ և 10սմ
   Հատվում է
2. 10սմ և 10սմ
   Շոշափում է
3. 8սմ և 12սմ
   Շոշափում է
4. 35սմ և 15սմ
   Հատվում է
5. 5սմ և 7 սմ
   Չունի հատման կետ
6. 20սմ և 20սմ
   Հատվում է
7. 55սմ և 25սմ
   Հատվում է
8. 8սմ և 9սմ
   Չունի հատման կետ

2. Տրված են մեծ և փոքր շառավիղներով երկու շրջանագծեր և հայտնի է, որ մեծ շառավղով շրջանագծի շառավղի երկարությունը երկու անգամ մեծ է փոքր շառավիղ ունեցող շրջանագծի շառավղի երկարությունից։ Ինչի՞ են հավասար շրջանագծերի շառավիղների երկարությունները եթե տվյալ շրջանագծերը փոխադարձաբար շուշափում են միմյանց իսկ կենտրոնների միջև հեռավորությունը 30սմ է։

Առաջադրանքներ (լրացուցիչ)

1. Տրված են երկու շրջանագծեր որոնց շառավիղները հավասար են իսկ կենտրոնների միջև հեռավորությունը 40սմ է և երեք անգամ մեծ է տրված շրջանագծերի շառավիղներից։ Գտնել տրված շրջանագծերի շառավիղները։
2. Երկու շրջանագծեր փոխադարձաբար շոշափում են միմյանց և նրանցից մեկի շառավղի երկարությունը երեք անգամ մեծ է մյուսի շառավղի երկարությունից, հարթության մեջ տրված կետով և շրջանագծերի կենտրոններով կազմված է հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյուն այնպես, որ եռանկյան ներքնաձիգը շրջանագծերի կենտրոնները միացնող ուղիղն է իսկ մակերեսը հավասար է 4 սմ² ։ Գտնել փոքր շրջանագծի շառավիղը։

Առաջին աստիճանի մեկ անհայտով անհավասարումներ

Տեսական նյութ

kx−b>0 կամ kx−b<0 տեսքի անհավասարումները, որտեղ k -ն և b -ն տրված թվեր են, ընդ որում k≠0, անվանում են առաջին աստիճանի մեկ x անհայտով անհավասարումներ:

Օրինակ՝

a−5>0 a>5 Պատասխան՝a∈(5;+∞)

−2y−100<0 −2y<100|:(−2) (անհավասարության նշանը փոխվում է) y>100:(−2) y>−50 Պատասխան՝y∈(−50;+∞)

−3c≥−15|:(−3)(անհավասարության նշանը փոխվում է)c≤−15:(−3)c≤5Պատասխան՝ c∈(−∞;5]

Երբ թիվը կամ փոփոխականը անհավասարման մի մասից տեղափոխվում է մյուս մասը, ապա նրա նշանը փոխվում է:

kx−b≥0 կամ  kx−b≤0 տեսքի անհավասարումները, որտեղ k -ն և b -ն տրված թվեր են, ընդ որում  k≠0, անվանում են մեկ  x անհայտով առաջին աստիճանի ոչ խիստ անհավասարումներ:

Օրինակ

x−3≥0
x≥3
Պատասխան՝x∈[3;+∞)

«Իմ դպրոց» կայքից կարդալ.

1.	Իրական թվերի կանոնները
2.	Գումարումը և թվով բազմապատկումը
3.	Անհավասարումների գումարումն ու հանումը
4.	Միանուն անհավասարությունների բազմապատկումը
5.	Անհավասարության աստիճան բարձրացնելը

Առաջադրանքներ

1) Գրառի՛ր նկարում պատկերված բազմությունները.

ա․ [3;7]
բ․ (3;7)
գ․ (5;6]
դ. [5;6)
ե. [7;+∞]
զ. [-∞;8)
է. (7;+∞)
ը. [-∞; 8]

2) Լուծի՛ր անհավասարումը.

ա. x+4>7
x>7-4
x>3
x
բ.
գ.
դ.
ե.
զ.

Առաջադրանքներ

3) Լուծի՛ր անհավասարումը.

4) Կոորդինատային ուղղի վրա պատկերի՛ր միջակայքերը

Հավելյալ խնդիրներ

5) Գտեք երկու այնպիսի բնական թվեր, որոնց գումարը 319 է, իսկ դրանց ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը` 812։

6) Գտեք այն ամենափոքր բնական թիվը, որը կարելի է ներկայացնել ինչպես հինգ, այնպես էլ ութ հաջորդական բնական թվերի գումարի տեսքով:

7) Հինգ քարտերի վրա գրված են 3,4,5,6 և 7 թվերը։ Այդ քարտերից երեքը տալիս են Նանեին, մնացած երկուսը` Ռուբենին։ Նանեն բազմապատկում է իր երեք քարտերի վրա գրված թվերը, իսկ Ռուբենը` իր երկու քարտերի վրա գրված թվերը։ Պարզվում է, որ ստացած արտադրյալների գումարը պարզ թիվ է։ Որքա՞ն է Նանեի քարտերի վրա գրված թվերի գումարը։

Արտագծած շրջանագիծ: Կրկնողություն

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) Շրջանագծին ներգծած է ABC եռանկյունն այնպես, որ AB-ն տրամագիծ է: Գտեք եռանկյան անկյունները, եթե՝ 

ա) BC=134⁰

υAB=180^o
υBC=134^o
υAC=46^o
∠C=90^o
∠A=67^o
∠B=23^o

բ) AC=70⁰:

υAB=180^o
υAC=70^o
υCB=110^o
∠A=55^o
∠B=35^o
∠C=90^o

2) Շրջանագծին ներգծված է BC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյունը: Գտեք եռանկյան անկյունները, եթե BC=102⁰:

υAB=129^o
υAC=129^o
υCB=102^o
∠A=51^o
∠B=64^o30^|
∠C=64^o30^|

3) Ուղղանկյուն եռանկյանը արտագծված է շրջանագիծ: Ապացուցեք, որ նրա կենտրոնը ներքնաձիգի միջնակետն է:

Լրացուցիչ(տանը)

4) ABC եռանկյանը արտագծված է շրջանագիծ: Գտեք այդ շրջանագծի շառավիղը, եթե AC=24սմ, <A=60⁰, <B=30⁰:

5) Շրջանագծին ներգծած է ABCD քառանկյունը, որի մեջ <A=104⁰ և <B=71⁰: Գտեք <C և <D-ն:

<A=104⁰ 
<B=71⁰
<C=76^o
<D=109^o

6) Արդյոք կարելի՞ է տրված ABCD քառանկյանը արտագծել շրջանագիծ, եթե՝

ա) <A=64⁰, <B=95⁰, <C=106⁰,

Ոչ

բ) <A=72⁰, <B=69⁰, <D=111⁰:

Այո

Արտագծյալ շրջանագիծ

Տեսական նյութ

Եթե բազմանկյան բոլոր գագաթները գտնվում են շրջանագծի վրա, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյանը արտագծյալ, իսկ բազմանկյունը՝ այդ շրջանագծին ներգծյալ: Նկարում ABCD քառանկյունը ներգծված է O կենտրոնով շրջանագծին, մինչդեռ AECD քառանկյունը այդ շրջանագծին ներգծյալ չէ, քանի որ նրա E գագաթը շրջանագծի վրա չի գտնվում:

Թեորեմ.

Ցանկացած եռանկյանը կարելի է արտագծել շրջանագիծ:

Ի տարբերություն եռանկյունների, քառանկյուններից ոչ բոլորին է հնարավոր արտագծել շրջանագիծ:

Եթե քառանկյանը կարելի է շրջանագիծ արտագծել, ապա տեղի ունի հետևյալ հատկությունը՝

Թեորեմ

Ցանկացած ներգծյալ քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը 180⁰ է:

Ճիշտ է նաև հակադարձ պնդումը.

եթե քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը 180⁰ է, ապա քառանկյանը կարելի է արտագծել շրջանագիծ:

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) ABC եռանկյան մեջ <C=120⁰, AC=BC=a: Գտեք այդ եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը:

2) Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի հիմքերը հավասար են 2 սմ և 8 սմ: Գտեք սեղանի պարագիծը:

3) Գտեք շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի կողմերը, եթե նրա պարագիծը 40սմ է, իսկ հիմքերից մեկը 4 անգամ փոքր է մյուսից:

Լրացուցիչ(տանը)

4) Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի հիմքերից մեկը հավասար է մյուսի եռապատիկին, իսկ սեղանի սրունքը 8սմ է: Գտեք սեղանի հիմքերը:

5) Հավասարասրուն սեղանին ներգծած է շրջանագիծ: Այդ սեղանի պարագիծը 60սմ է: Գտեք նրա սրունքը:

6) Հավասարասրուն սեղանի սրունքը 8 սմ է, իսկ փոքր հիմքին առընթեր անկյունների գումարը՝ 300⁰: Գտեք այդ սեղանին ներգծած շրջանագծի շառավիղը:

Հավելյալ առաջադրանքներ

7) Ապացուցեք, որ եթե զուգահեռագծին կարելի է ներգծել շրջանագիծ, ապա այդ զուգահեռագիծը շեղանկյուն է:

Ներգծյալ շրջանագիծ

Տեսական նյութ

Եթե բազմանկյան բոլոր կողմերը շոշափում են շրջանագիծը, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյանը ներգծյալ, իսկ բազմանկյունը՝ այդ շրջանագծին արտագծյալ: Նկարում EFMN քառանկյունը արտագծված է O կենտրոնով շրջանագծին, մինչդեռ DKMN քառանկյունը այդ շրջանագծին արտագծյալ չէ, քանի որ DK կողմը չի շոշափում քառանկյունը: 

Թեորեմ.

Ցանկացած եռանկյանը կարելի է ներգծել շրջանագիծ:

Պազաբանում 1. Եռանկյանը կարելի է ներգծել միայն մեկ շրջանագիծ:

Պարզաբանում 2. Ի տարբերություններ եռանկյունների, քառանկյուններից ոչ բոլորին է հնարավոր ներգծել շրջանագիծ:

Եթե քառանկյանը կարելի է շրջանագիծ ներգծել, ապա նրա կողմերն ունեն մի կարևոր հատկություն:

Թեորեմ.

Ցանկացած արտագծյալ քառանկյան հանդիպակաց կողմերի գումարները հավասար են:

AB+CD=BC+AD:

Ճիշտ է նաև հակադարձ պնդումը.

(Ապացույցներն ինքնուրույն)

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) Ներգծյալ շրջանագծի շոշափման կետում հավասարասրուն եռանկյան սրունքը տրոհվում է 3 սմ և 4 սմ երկարությամբ հատվածների՝ հաշված հիմքից: Գտեք այդ եռանկյան պարագիծը:

20սմ
22սմ

2) Գտեք 6 սմ և 8 սմ էջերով և 10սմ ներքնաձիգով ուղղանկյուն եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը:

r=a+b-c/2
6+8-10/2=2

3) Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը 13սմ է, իսկ էջերի գումարը՝ 17սմ: Գտեք եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը:

r=a+b-c/2
r=17-13/2

Լրացուցիչ(տանը)

4) Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը 15 սմ է, իսկ պարագիծը՝ 36սմ: Գտեք այդ եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը:

r=a+b-c/2
a+b=36-15
r=21-15/2
r=3

5)O-ն ABC հավասարասրուն եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի կենտրոնն է: Գտեք <AOC-ն, եթե <ABC=80⁰:

<AOC=130

Երկրաչափություն: կրկնողություն

458. Այո
459. Ոչ հատող է։

465. Ոչ

466. 55^օ
467.
468.
469.
470.

Երկրաչափություն: կրկնողություն

438. OA=OB=r
439. Ոչ
440. Հավասարասրուն
441. Եթե հավասարասրուն եռանկյան անկյուններից մի կողմը 60^օ է ապա այդ եռանկյունը հավասարակողմ եռանկյուն է։
442.

444․ Այն ուղիղը որը շրջանագծի հետ ունի միայն մեկ ընդհանուր կետ կոչվում է շոշափող։
445․Ոչ
446․Ոչ
447․
448․